怎樣證明無限循環(huán)群和任意循環(huán)群同態(tài)？設(shè)g=<x是無限循環(huán)群，X是它的生成元，H=<A是n階循環(huán)群，a是它的生成元。定義映射σ：g-h，x-a。直接驗證表明σ是從g到h的群同態(tài)。此外，很容易證明

怎樣證明無限循環(huán)群和任意循環(huán)群同態(tài)？

設(shè)g=<x是無限循環(huán)群，X是它的生成元，H=<A是n階循環(huán)群，a是它的生成元。定義映射σ：g-h，x-a。直接驗證表明σ是從g到h的群同態(tài)。此外，很容易證明σ是完全同態(tài)（即σ=h的象），其同態(tài)核=<x^n，即，由x^n生成的子群。

兩個無限循環(huán)群之間的映上同態(tài)總是同構(gòu)？

設(shè)g對二元運算“·”形成一個無限級的循環(huán)群，單位元素為e。根據(jù)循環(huán)群的定義，存在a∈g，因此g中的元素可以表示為一個^n，其中n為整數(shù)。那么映射φ（n）=a^n就是從整數(shù)集Z到群G的滿射，也很容易看出φ（x y）=a^（x y）=a^x·a^y=φ（x）·φ（y），即φ是整數(shù)加法群到G的同態(tài)，假設(shè)Ker（φ）包含n≠0，即存在φ（n）=a^n=E，對于G中的任何元素，設(shè)為a^m，存在一個整數(shù)Q，R滿足m=nqr，其中0≤R | n |。因此，a^m=a^（NQ R）=（a^n）^Q·a^R=a^R，即a^m等于E，a，a^2，…，a^（| n |-1）之一。則G最多有n個元素，這與G是矛盾的，則φ：Z→G是雙射的，是群同態(tài)，是同構(gòu)映射。任何一個無限級循環(huán)群都與Z同構(gòu)，因此它們是同構(gòu)的