近世代數(shù)正則元定義 正整數(shù)集包括零嗎？
正整數(shù)集包括零嗎？正整數(shù)不包括0。0既不是正整數(shù)也不是負(fù)整數(shù)零除數(shù)零除數(shù)。它是環(huán)的一個(gè)特殊的非零元素。環(huán)R中的元素A≠0，如果有0≠B∈R，使得ab=0或Ba=0，則稱A為環(huán)R的零因子。在非交換環(huán)中，
正整數(shù)集包括零嗎？
正整數(shù)不包括0。0既不是正整數(shù)也不是負(fù)整數(shù)
零除數(shù)
零除數(shù)。它是環(huán)的一個(gè)特殊的非零元素。環(huán)R中的元素A≠0，如果有0≠B∈R，使得ab=0或Ba=0，則稱A為環(huán)R的零因子。在非交換環(huán)中，有左零因子和右零因子。如上所述，當(dāng)AB=0時(shí)，a稱為左零因子；當(dāng)Ba=0時(shí)，a稱為右零因子。如果環(huán)R有一個(gè)零因子，則消去律不成立；其意義與零因子完全相反的元素，即不是零因子的非零元素，稱為正則元素。沒有零因子，但在其他環(huán)（如矩陣環(huán)）中，可能有零因子，并且場(chǎng)中沒有零因子。
零因子什么意思？
在整數(shù)環(huán)中，0?不存在（無意義），因?yàn)椋?/p>
0?=0?ν=0ü·0?ü，0 0?ü的逆不存在。
有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域都是整數(shù)環(huán)的擴(kuò)展，所以0?仍然沒有意義。
假設(shè)存在一個(gè)?KUL，則存在一個(gè)·a?KUL=1（1）。然而，由于a是零因子，存在B≠0（2），使得B·a=0。則式（1）兩邊B的左乘有，B·a·a?KUL=B·1，0=B，通過簡(jiǎn)化得到，這與式（2）是矛盾的。
對(duì)于環(huán)中的任何可逆元素a，都有a?=aü?к=aü·aüк=1。
當(dāng)然，在零環(huán)（只有一個(gè)元素的環(huán)）中，因?yàn)?=0，0?ull=1?ull=1=0，那么0?ull=1=0。（這可能是問題所有者想要的答案）
補(bǔ)充（2019年10月3日）：
上面給出的解釋是有缺陷的，因?yàn)榘凑者@種思維方式，它如下：
0ν=0？? а = 0? · 0? ?а
這導(dǎo)致了0а的無意義，但顯然0а=0是有意義的。
更好的解釋如下：
考慮A?=1的求導(dǎo)過程，
有，A=Aü=Aü+Aü=Aü·A?，即Aü·A?=A，當(dāng)A≠0時(shí)，Aü的逆存在，則Aü在方程兩邊左乘A，Aü·Aü·A?=Aü·A，然后1·a?=1，即a?=1。
在這里，我們只能證明a?=1的a≠0的情況，而不能證明a=0的情況。因此，為了嚴(yán)格起見，我們一般認(rèn)為0?是沒有意義的。
如果我們不得不認(rèn)為0?=1，它只能是強(qiáng)制的，不能從非零幺正環(huán)的定義中導(dǎo)出。