什么是正交變換矩陣？1. 正交變換x=py：表示矩陣P是正交矩陣，即P的列（行）向量是正交的，長度為1。正交矩陣滿足：P^TP=PP^t=e，即P^（-1）=P^t。在二次型中，我們希望找到一個(gè)可逆矩

什么是正交變換矩陣？

1. 正交變換x=py：表示矩陣P是正交矩陣，即P的列（行）向量是正交的，長度為1。正交矩陣滿足：P^TP=PP^t=e，即P^（-1）=P^t。在二次型中，我們希望找到一個(gè)可逆矩陣C，通過可逆變換x=cy，使二次型f=x^tax=（cy）^tacy=y^t（C^TAC）y成為標(biāo)準(zhǔn)形式，即使C^TAC成為對(duì)角矩陣。由實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化可知，對(duì)于任意對(duì)稱矩陣a，總是存在一個(gè)正交矩陣P，使得P^（-1）AP是對(duì)角矩陣。因?yàn)檎痪仃嘝^（-1）=P^t，P^tap是對(duì)角矩陣。這樣，如果我使用正交變換x=py，我可以將二次型f=x^tax改為f=y^t（P^tap）y=y^t（P^（-1）AP）y=y^t∧y（其中∧是對(duì)角矩陣）。通過正交變換實(shí)現(xiàn)了二次型的標(biāo)準(zhǔn)化。這是正交變換的第一個(gè)函數(shù)。② 正交變換可以用來研究圖形的幾何性質(zhì)。因?yàn)檎痪仃嚌M足：P^TP=PP^t=e，對(duì)于正交變換x=py，有| x |=√（x^TX）=√（y^TP^TPY）=√（y^ty）=| y |。其中| x |表示向量x的長度。因此，經(jīng)過正交變換后，| x |=| y |，即向量的長度保持不變。同樣可以證明

（x1，X2，x3）=2x1x2x1x2x1x2x2x3對(duì)應(yīng)的實(shí)對(duì)稱矩陣是

a=[（0，1，1）t，（1，0，1）t，（1，1，0）t]對(duì)角化如下：

首先，求a的特征值，由| ke-a |=|（k，-1，-1）t，（-1，k，-1）t，（-1，-1，K） t |=（K-2）*（K-1）1）對(duì)于特征值K=2，（2e-a）z=0，特征向量z=（1，1，1）t，

單位α1=（1/√3，1/√3）t。

對(duì)于特征值K=-1，（-e-a）z=0，特征向量z=（1，-1，0）t或（1，0，-1）t，

施密特正交化給出

α2=（1/√2，0）t，α3=（1）/√6，1/√6，-2/√6）T.

正交變換化標(biāo)準(zhǔn)型公式？

實(shí)對(duì)稱矩陣必須具有相似的變換矩陣，并且是正交矩陣，正交矩陣的逆等于正交矩陣的轉(zhuǎn)置。根據(jù)矩陣相似性和矩陣同余的定義，如果矩陣A是實(shí)對(duì)稱矩陣，那么它必須存在于正交矩陣P中，使得P*（-1）AP=B和P*（T）AP=B。但是如果矩陣A不是實(shí)對(duì)稱矩陣，那么相似性與矩陣同余無關(guān)，因?yàn)榫仃嘇不一定有變換矩陣P，所以A和B是相似和全等的