用有限覆蓋定理證明有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)一定一致連續(xù)？證明如下圖所示：擴(kuò)展數(shù)據(jù)，特別是有限覆蓋定理，可以擴(kuò)展到n維空間（此時(shí)定理的描述會(huì)改變，但本質(zhì)不會(huì)改變），從而定義緊集和緊空間。當(dāng)然，閉區(qū)間上連續(xù)函

用有限覆蓋定理證明有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)一定一致連續(xù)？

證明如下圖所示：擴(kuò)展數(shù)據(jù)，特別是有限覆蓋定理，可以擴(kuò)展到n維空間（此時(shí)定理的描述會(huì)改變，但本質(zhì)不會(huì)改變），從而定義緊集和緊空間。當(dāng)然，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的某些性質(zhì)可以用有限覆蓋定理來證明。本文以有限覆蓋定理為例，證明了閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是一致連續(xù)的。已知f（x）定義在閉區(qū)間[a，b]上，且f（x）是連續(xù)的。證明了f（x）在閉區(qū)間[a，b]上是一致連續(xù)的。

函數(shù)連續(xù)和一致連續(xù)有什么區(qū)別？

1、區(qū)別如下：1。不同的范圍，連續(xù)性是一個(gè)局部性質(zhì)，一般只針對一個(gè)點(diǎn)，而一致連續(xù)性是一個(gè)全局性質(zhì)，是域的一個(gè)子集。2如果連續(xù)性不同，則一致連續(xù)函數(shù)必須是連續(xù)的，而連續(xù)函數(shù)可能不是一致連續(xù)的。如果一個(gè)函數(shù)具有一致連續(xù)性，它就必須具有連續(xù)性，但是如果一個(gè)函數(shù)具有連續(xù)性，它就不一定具有一致連續(xù)性。三。圖像之間的區(qū)別在于，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必須是一致連續(xù)的，所以在閉區(qū)間中，兩者是一致的；在開區(qū)間中，連續(xù)函數(shù)可能不是一致連續(xù)的，并且均勻連續(xù)函數(shù)圖像不具有上升或下降的梯度變得無限陡峭的情況，但是可以出現(xiàn)連續(xù)函數(shù)，例如（0,1）上的連續(xù)函數(shù)y＝1/X。2、 給出了一個(gè)例子，證明了函數(shù)x^2在區(qū)間[0，無窮遠(yuǎn)]內(nèi)不是一致連續(xù)的。分析：可以取區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)數(shù)，s=n，t=n1/2n，此時(shí)t-s=1/2n1。根據(jù)一致連續(xù)性的定義，x^2在區(qū)間[0，無窮大]內(nèi)不是一致連續(xù)的。擴(kuò)展數(shù)據(jù)：一致連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：1）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)，如果是，則在區(qū)間上一致連續(xù)；2）如果函數(shù)在區(qū)間I上一致連續(xù)，則在區(qū)間I上一致連續(xù)；3）如果函數(shù)在有限區(qū)間I上一致連續(xù)，則在區(qū)間I上有界；4） 如果函數(shù)在有限區(qū)間I上一致連續(xù)，則一致連續(xù)5）如果在域I上一致連續(xù)，則其取值范圍為u，在域u上一致連續(xù)，那么它在域I中是一致連續(xù)的。

在R上連續(xù)的函數(shù)是否一定是一致連續(xù)的呢？不是的話給個(gè)反例，謝謝？

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必須是一致連續(xù)的（康托定理）。根據(jù)一致連續(xù)性的定義：dy/DX必須處處存在。LIM（x1-->x2）[f（x1）-f（x2）]=0x1，x2為任意兩點(diǎn)。上述公式除以（x1-x2）LIM（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]/（x1-x2）=f“（x）。根據(jù)中值定理，存在ξ∈（x1，x2），f（ξ）（x1-x2）=f（x1）-f（x2）| f（x1）-f（x2）|=| f（ξ）（x1-x2）|≤f（ξ）|ε；取f（ξ）的最大絕對值m，| f（x1）-f（x2）|≤mε=δ，則函數(shù)在定義域內(nèi)必須一致連續(xù)。如果F“（ξ）的最大絕對值為∞，則它不是一致連續(xù)的。當(dāng)然，一致連續(xù)性并不要求導(dǎo)數(shù)處處存在，條件比這弱得多。有兩個(gè)定理：（-∞，∞）上的連續(xù)周期函數(shù)比（（∞，∞）上的連續(xù)周期函數(shù)一致連續(xù)；（a，∞）連續(xù)函數(shù)f（x），f（a），f（∞）存在且必須一致連續(xù)；相應(yīng)地，R，f（∞），f（∞）上的連續(xù)函數(shù)存在且必須一致連續(xù)。如果f（-∞），f（∞）不存在，則不一定是一致連續(xù)的。