對于由a生成的群，包含在G中，根據(jù)拉格朗日定理，我們可以得到| | |整除| G |=P是素?cái)?shù)，那么|]|=1或P |]|=1意味著只有一個(gè)元素，a=1 |]|=P=| G |，那么=G，所以G是循環(huán)

對于由a生成的群，

包含在G中，根據(jù)拉格朗日定理，我們可以得到| | |整除| G |=P是素?cái)?shù)，那么|]|=1或P |]|=1意味著只有一個(gè)元素，a=1 |]|=P=| G |，那么

=G，所以G是循環(huán)群，那么G也是交換群。2設(shè)g={1，a，B，C}，則g中元素的借用只能是1，2，4（1）如果g有4階元素，設(shè)a^4=1，則B和C只能是a^2，a^3，則g={1，a，a^2，a^3}

g是循環(huán)群，即交換群（2）如果g沒有4階元素，則它只能是a^2=1，B^2=1，C^2=1，a^2=1^-1（a的逆）=ab^-1=B，那么ab∈g，它也是ab*ab=1的2階元素，a^-1*ab*B^-1=a^-1*B^-1，Ba=a^-1*B^-1=ab，所以g是交換的（3）S3是一個(gè)3階對稱群，有123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123，我們可以發(fā)現(xiàn)123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123。綜上所述，1階和2階群顯然是3階、5階和7階的交換群，也被稱為（1）階的交換群，而（2）階的4階群則是G是p2階群的交換群。得出了p-群的中心是非平凡的結(jié)論，即存在一個(gè)非單位元a∈g，它與g中的所有元是可交換的，a的階被p2除，因此是p或p2。如果a是p2階元素，則G=<A>由a生成，是p2階循環(huán)群，G是阿貝爾群。如果a是P階元素，則考慮子組n=<A>。a和G的所有元素都是交換的，N是G的正規(guī)子群。如果商群G/N是P階群，BN是生成元，則G/N的元素可以表示為（b^k）N，k=0，1，2，P-1。因此G中的元素可以唯一地表示為B^k，a^J，0≤J，k<；P。很容易證明G中的任意兩個(gè)元素可以被a交換，而B.G是交換群。