分段函數(shù)必連續(xù)嗎？不一定。分段函數(shù)是否為連續(xù)函數(shù)取決于兩點(diǎn)。首先，在分段點(diǎn)上有什么定義嗎？第二，分割點(diǎn)的兩邊是否連續(xù)（簡(jiǎn)言之，左極限和右極限存在且相等）。從圖像上看，連續(xù)函數(shù)應(yīng)該是定義域內(nèi)的連續(xù)曲線。

分段函數(shù)必連續(xù)嗎？

不一定。分段函數(shù)是否為連續(xù)函數(shù)取決于兩點(diǎn)。首先，在分段點(diǎn)上有什么定義嗎？第二，分割點(diǎn)的兩邊是否連續(xù)（簡(jiǎn)言之，左極限和右極限存在且相等）。從圖像上看，連續(xù)函數(shù)應(yīng)該是定義域內(nèi)的連續(xù)曲線。對(duì)于第一種情況，例如函數(shù)y=（x-1）/（x-1），它不是在點(diǎn)x=1處定義的。對(duì)于第二種情況，例如Tan函數(shù)，左極限和右極限不存在，并且在x=pi/2時(shí)不相等。函數(shù)y=1（x0），是一個(gè)連續(xù)的分段函數(shù)。

分段函數(shù)連續(xù)的條件？

判斷一個(gè)分段函數(shù)在域中是否連續(xù)的關(guān)鍵是它在分段點(diǎn)上是否連續(xù)。如果不在分段點(diǎn)上，則分段函數(shù)是初等的連續(xù)函數(shù)。線段是否連續(xù)，一般用左連續(xù)或右連續(xù)來判斷。例如，如果分段點(diǎn)是a，我們可以分別從a的左側(cè)找到x趨向于a的極限，從a的右側(cè)找到x趨向于a的極限。如果兩者都等于f（a），也就是說它們是左連續(xù)和右連續(xù)的，那么它們?cè)赼中是連續(xù)的，否則它們就不是連續(xù)的

，當(dāng)分段點(diǎn)的兩個(gè)解析表達(dá)式對(duì)應(yīng)的y相等時(shí)，它們是連續(xù)的。例如，最簡(jiǎn)單的一個(gè)是當(dāng)x>=0時(shí)y=2x，當(dāng)x<0時(shí)y=x，它是連續(xù)的，因?yàn)閤=0的兩個(gè)解析表達(dá)式對(duì)應(yīng)相同的y，我們要看分段函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式是否連續(xù)（這是初等函數(shù)是否連續(xù)的一般方法），然后要看分段函數(shù)的左右極限是否等于函數(shù)值，如果相等，它們是連續(xù)函數(shù)。剖切點(diǎn)的左極限由左函數(shù)確定，剖切點(diǎn)的右極限由右函數(shù)確定。函數(shù)y=f（x）當(dāng)自變量x的變化很小時(shí)，因變量y的變化也很小。例如，如果溫度隨時(shí)間變化，只要時(shí)間變化很小，溫度的變化也很??；再如，如果自由落體的時(shí)間變化隨時(shí)間變化，只要時(shí)間變化足夠短，位移的變化也很小。對(duì)于這一現(xiàn)象，我們認(rèn)為因變量相對(duì)于自變量是連續(xù)變化的，連續(xù)函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的像是一條沒有斷裂的連續(xù)曲線。如果自變量在某一點(diǎn)的增量趨于零，則相應(yīng)函數(shù)值的增量也趨于零，則f（x）在該點(diǎn)稱為連續(xù)的。函數(shù)極限的定義中強(qiáng)調(diào)了當(dāng)x→x0時(shí)f（x）是否有極限與f（x）在x0點(diǎn)是否有定義無關(guān)。然而，由于函數(shù)在x0處是連續(xù)的，這意味著f（x0）必須存在。顯然，當(dāng)Δx=0（即x=x0）時(shí)，Δy=0<ε。因此，在上述推導(dǎo)中，可以取消0< |Δx |的條件。