求基礎解系的步驟 什么是基礎解系,為什么非齊次方程組沒有這種說法?
什么是基礎解系,為什么非齊次方程組沒有這種說法?齊次線性方程組的基本解系統(tǒng)是系統(tǒng)解空間(所有解的集合)的一組基(或最大獨立系統(tǒng))。換言之,齊次線性方程組的任何解都可以用一些“特殊”解(獨立的,即線性獨
什么是基礎解系,為什么非齊次方程組沒有這種說法?
齊次線性方程組的基本解系統(tǒng)是系統(tǒng)解空間(所有解的集合)的一組基(或最大獨立系統(tǒng))。換言之,齊次線性方程組的任何解都可以用一些“特殊”解(獨立的,即線性獨立的和充分的)線性表示,這些線性獨立的和充分的特殊解構成一個基本解系統(tǒng)。由于非齊次線性方程組的解不具有這一性質,即非齊次線性方程組不具有任何能產(chǎn)生所有解的解的線性組合,因此非齊次線性方程組不存在基本解系,非齊次線性方程組的解集不能是線性空間。
基礎解系的定義?
基本解系統(tǒng)
齊次線性方程組解集的最大線性獨立系統(tǒng)稱為齊次線性方程組的基本解系統(tǒng)。基本解系統(tǒng)是線性無關的。一個簡單的理解是,方程組的任何一組解都可以用它的線性組合來表示,即對于有無數(shù)解的方程組?;窘庀到y(tǒng)不是唯一的,對自由未知量的個別計算方法不同,但不同的基本解系統(tǒng)之間必然存在某種線性關系。
怎么求基礎解系?
首先得到齊次或非齊次線性方程組的通解,即得到用自由未知數(shù)表示的獨立未知數(shù)的通解形式,然后將通解改寫為向量線性組合形式,以自由未知數(shù)為組合系數(shù)的解向量作為基本解系統(tǒng)的解向量。如果存在多個自由未知數(shù),則很容易知道齊次線性方程組的基本解系統(tǒng)包含多個解向量。
設AX=b為秩為r的系數(shù)矩陣A,通過初等行變換將A變換為如下形式:
則AX=0可分別變換為相同的解方程:
將自由未知數(shù)x r1,x r2,xn分別取N-r組數(shù)[1,0,…,0],[0,1,…,0],。。。,[0,1,0,…,0],并將它們放入方程組x1,X2中,這樣就得到了N-R線性無關的解。
線性方程組的基礎解系?
基本解是齊次線性方程組的一些特殊解,它可以表示所有解,并且具有最少的個數(shù)。解向量是方程組的解。