網(wǎng)友解答: 這其實(shí)是個(gè)名稱問題，函數(shù)和泛函并沒有什么本質(zhì)的不同。它們都是一種映射（mapping），區(qū)別是：函數(shù)一般代表的是定義域和值域?yàn)閿?shù)域（常見的如 R^n）的映射，而泛函指的是定義

這其實(shí)是個(gè)名稱問題，函數(shù)和泛函并沒有什么本質(zhì)的不同。它們都是一種映射（mapping），區(qū)別是：函數(shù)一般代表的是定義域和值域?yàn)閿?shù)域（常見的如 R^n）的映射，而泛函指的是定義域?yàn)槟澈瘮?shù)空間，值域?yàn)閿?shù)域的映射。說白了，泛函就是函數(shù)的推廣，泛函的泛函還是泛函，沒有其他特別的稱呼，據(jù)我所知。

數(shù)學(xué)里專門研究泛函的分支是泛函分析——概括整理經(jīng)典分析和函數(shù)論的成果，把數(shù)學(xué)分析的一些研究方法運(yùn)用到一般的抽象空間（比如Banach空間、Hilbert空間）進(jìn)行更純粹的研究。目前，泛函分析的內(nèi)容非常豐富，與其他學(xué)科也有著緊密的聯(lián)系，已經(jīng)成為了研究數(shù)學(xué)、物理等領(lǐng)域不可或缺的知識。

下面對數(shù)學(xué)里線性泛函的相關(guān)概念作一簡單的介紹。

首先，線性泛函是特殊的線性算子：舉個(gè)例子，線性代數(shù)里矩陣可以對應(yīng)一個(gè)線性變換，就是一個(gè)線性算子。再比如求導(dǎo)運(yùn)算：

就是連續(xù)可微函數(shù)空間到連續(xù)函數(shù)空間的線性算子。

取值于實(shí)數(shù)（復(fù)數(shù)）的線性算子稱為實(shí)（復(fù)）線性泛函，比如積分運(yùn)算：

f就是一個(gè)函數(shù)空間上的線性泛函。

簡明地，如果一個(gè)線性算子T滿足

那么稱T連續(xù)。如果對于線性算子T，存在一個(gè)常數(shù)C0滿足

那么稱T 有界。當(dāng)X和Y都是賦范空間時(shí)，連續(xù)性和有界性是等價(jià)的。有了這些概念，我們來介紹泛函分析中最重要的定理之一——Hahn-Banach延拓定理，在數(shù)學(xué)上具有廣泛的應(yīng)用。

對于有限維空間上的線性泛函，它一定是連續(xù)的， 而且可以組成一個(gè)與基空間具有相同維數(shù)的線性空間，我們稱為對偶空間。自然會問：如果是無窮維線性空間，會有什么結(jié)果？下面給出Hahn-Banach定理在賦范空間的一個(gè)特殊形式：

由這個(gè)可以得到判斷賦范空間零元的一種方法：

X*代表X上的對偶空間（包含X上所有的連續(xù)線性泛函）。

至于其他的一些重要概念，比如：弱收斂，譜，廣義函數(shù)，緊算子等，下次有機(jī)會再說吧。

就概念抽象層次來講，感覺題主是非要問出“函子”的概念不可~ ;-)。簡單說，“泛函的泛函還是泛函”。原因如下：

函數(shù)、映射、泛函、算子、態(tài)射、函子等等，其本質(zhì)都是一種對應(yīng)關(guān)系，只不過關(guān)系的兩頭是不同的對象。

函數(shù)：經(jīng)典的函數(shù)定義是Dirichlet在1837年給出的，即從數(shù)到數(shù)的對應(yīng)（1→1、多→1，不能1→多）。

函數(shù)概念的推廣：到Cantor的集合論一出來，經(jīng)典函數(shù)概念就明確為一個(gè)數(shù)集（稱為前域，原來的定義域是它的子集）到另一個(gè)數(shù)集（稱為后域，原來的值域是它的子集）的對應(yīng)關(guān)系。進(jìn)而最終在任意的兩集合之間建立了函數(shù)的推廣概念。這里把這個(gè)推廣概念叫做映射，函數(shù)還是原來的意思，也有做法是推廣后的概念仍叫函數(shù)，不過在具體語境下再進(jìn)行約束聲明。

泛函：最初是指前域?yàn)楹瘮?shù)空間、后域?yàn)閿?shù)域的一類特殊映射，后來前域推廣到任意空間。研究學(xué)習(xí)時(shí)一般約束前域在具有一些特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)空間上，如A={n維向量空間上的線性變換}上的線性泛函等。

算子：進(jìn)一步推廣了后域到函數(shù)空間上，從而泛函就是一種特殊的算子。

態(tài)射：這個(gè)概念很抽象，但它實(shí)際上就是在兩個(gè)數(shù)學(xué)對象之間保持某種結(jié)構(gòu)的映射。前域和后域都從集合推廣為類，這個(gè)類就是程序員們都很喜歡的面向?qū)ο缶幊讨械腸lass在數(shù)學(xué)上的對應(yīng)物。

每個(gè)集合也都是一個(gè)類，另外還存在不是集合的類，比如所有集合組成的集合類、所有拓?fù)淇臻g組成的拓?fù)淇臻g類，以及群類、算子類等等。當(dāng)然，前后域之間的對應(yīng)要約束下，不能太隨意，即保持某種結(jié)構(gòu)。從而集合論中的態(tài)射就是映射；群論中的態(tài)射就是群同態(tài)；拓?fù)鋵W(xué)中的態(tài)射就是連續(xù)映射。而在范疇論中：

函子：范疇論中的態(tài)射就是函子。而函子的定義是范疇之間保持恒等元和態(tài)射復(fù)合運(yùn)算的映射。

這些概念發(fā)展中的著名人物很多、概念辨析過程很曲折。從概念理解入手可以作為理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的一個(gè)重要窗口。