支持向量機(jī)(SVM)是一種常用的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，廣泛應(yīng)用于模式識(shí)別、文本分類、圖像識(shí)別等領(lǐng)域。它通過構(gòu)建一個(gè)最優(yōu)超平面，將不同類別的樣本點(diǎn)分隔開來。而這個(gè)最優(yōu)超平面由支持向量組成，支持向量是離分隔超平面

支持向量機(jī)(SVM)是一種常用的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，廣泛應(yīng)用于模式識(shí)別、文本分類、圖像識(shí)別等領(lǐng)域。它通過構(gòu)建一個(gè)最優(yōu)超平面，將不同類別的樣本點(diǎn)分隔開來。而這個(gè)最優(yōu)超平面由支持向量組成，支持向量是離分隔超平面最近的樣本點(diǎn)。

SVM的目標(biāo)是找到一個(gè)最大間隔(hyperplane)，使得支持向量到該超平面的距離最大化。為了達(dá)到這個(gè)目標(biāo)，SVM引入了拉格朗日乘子法和KKT條件來進(jìn)行優(yōu)化。接下來，我們將對SVM的公式進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)。

假設(shè)我們有一個(gè)二分類問題，其中訓(xùn)練樣本集為{Xi, yi}，其中Xi表示第i個(gè)樣本的特征向量，yi表示對應(yīng)的類別標(biāo)簽(-1或1)。我們的目標(biāo)是找到一個(gè)超平面wx b0，使得正負(fù)樣本能夠被可靠地分隔開來。

首先，我們定義超平面wx b0上的任意一點(diǎn)x0到超平面的距離為d(x0)。根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，我們可以將這個(gè)距離表示為：

d(x0) (w * x0 b) / ||w||

其中||w||表示w的模長。為了求解最大間隔問題，我們需要找到最大化d(x0)的w和b。由于距離d(x0)是與w和b成比例的，所以我們可以將目標(biāo)函數(shù)改寫為：

max d(x0) max [(w * x0 b) / ||w||]

為了簡化計(jì)算，我們可以將目標(biāo)函數(shù)改寫為等價(jià)的形式：

max [(w * x0 b)] (1)

約束條件為：yi * (w * xi b) - 1 > 0

然后，我們通過引入拉格朗日乘子αi來將約束條件轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)的一部分。于是，問題可以重新表述為：

L(w, b, α) 1/2 * ||w||^2 - Σ αi * [yi * (w * xi b) - 1]

其中，Σ表示對所有樣本求和。這個(gè)目標(biāo)函數(shù)可以通過求對w和b的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0來求解。

通過求解偏導(dǎo)數(shù)我們可以得到以下兩個(gè)方程：

?L/?w 0 > w Σ αi * yi * xi

?L/?b 0 > Σ αi * yi 0

將以上兩個(gè)式子帶入目標(biāo)函數(shù)，得到新的目標(biāo)函數(shù)：

L(w, b, α) Σ αi - 1/2 * Σ Σ αi * αj * yi * yj * (xi * xj)

這是一個(gè)二次規(guī)劃問題，可以通過求解對偶問題將其轉(zhuǎn)化為對偶形式。最終，我們可以得到支持向量機(jī)的決策函數(shù)為：

f(x) sign( Σ αi * yi * (xi * x) b )

其中αi為拉格朗日乘子的解，(xi * x)表示內(nèi)積。根據(jù)不同的核函數(shù)類型，支持向量機(jī)可以應(yīng)用在不同的領(lǐng)域，如線性SVM、多項(xiàng)式SVM和高斯核SVM等。

綜上所述，本文詳細(xì)解析了支持向量機(jī)(SVM)的原理，并對其公式進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo)。希望通過這篇文章，讀者能夠更加深入地理解支持向量機(jī)算法的工作原理及其數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程。