給定復(fù)數(shù)z a b * I（其中I是虛數(shù)單位，a和b是實(shí)數(shù)），我們可以很容易在復(fù)平面上確定z的位置。但是，如何確定Sqrt[z]的位置呢？本文將給出這個(gè)問(wèn)題的精確符號(hào)解。使用Mathematic

給定復(fù)數(shù)z a b * I（其中I是虛數(shù)單位，a和b是實(shí)數(shù)），我們可以很容易在復(fù)平面上確定z的位置。但是，如何確定Sqrt[z]的位置呢？本文將給出這個(gè)問(wèn)題的精確符號(hào)解。

使用Mathematica求解Sqrt[z]

直接使用Mathematica求解Sqrt[z]的顯式實(shí)部和虛部是行不通的，即使嚴(yán)格指定a和b是實(shí)數(shù)也不行。例如，Sqrt[a b*I] // ReIm 和 Refine[ReIm[Sqrt[a b*I]], Element[{a, b}, Reals]] 都無(wú)法得到正確的結(jié)果。

假設(shè)Sqrt[z] x y * I

我們假設(shè)Sqrt[z] x y * I，其中x和y是實(shí)數(shù)。那么必有：z (x y * I)^2。將其展開，得到(x y * I)^2 // Expand。

確定方程組

注意到等式兩邊的實(shí)部和虛部應(yīng)該分別相等，根據(jù)此條件可以確定一個(gè)方程組。解這個(gè)方程組，得到可能的解sol Solve[{x^2 - y^2 a, 2*x*y b}, {x, y}] // FullSimplify。

排除不合適的解

得到四組解，但是注意到x必須是實(shí)數(shù)。當(dāng)a和b都是非零實(shí)數(shù)時(shí)，Sqrt[a - Sqrt[a^2 b^2]]不是實(shí)數(shù)。因此可以排除前兩個(gè)解：sol Solve[{x^2 - y^2 a, 2*x*y b}, {x, y}][[3;;]] // FullSimplify。

Sqrt[z]的實(shí)部和虛部

得到兩個(gè)不同的復(fù)數(shù)作為Sqrt[z]的解，它們的實(shí)部和虛部如下：sol // Values

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱性

這兩個(gè)解是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。讀者可能會(huì)有疑問(wèn)：Sqrt[z]對(duì)應(yīng)兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么-Sqrt[z]也對(duì)應(yīng)兩個(gè)復(fù)數(shù)。如此一來(lái)，豈不是有四個(gè)復(fù)數(shù)了？其實(shí)，還是兩個(gè)，因?yàn)镾qrt[z]和-Sqrt[z]也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。