在進(jìn)行平面圖形的垂極變換之前，我們首先需要了解垂極點(diǎn)的定義。垂極點(diǎn)是相對(duì)于三角形和直線(xiàn)而言的。給定一個(gè)三角形ABC和一條直線(xiàn)L，我們可以通過(guò)將垂線(xiàn)從A、B、C分別作于直線(xiàn)L上，找到這三條垂線(xiàn)的交點(diǎn)T。

在進(jìn)行平面圖形的垂極變換之前，我們首先需要了解垂極點(diǎn)的定義。垂極點(diǎn)是相對(duì)于三角形和直線(xiàn)而言的。給定一個(gè)三角形ABC和一條直線(xiàn)L，我們可以通過(guò)將垂線(xiàn)從A、B、C分別作于直線(xiàn)L上，找到這三條垂線(xiàn)的交點(diǎn)T。這個(gè)點(diǎn)T被稱(chēng)為三角形ABC關(guān)于直線(xiàn)L的垂極點(diǎn)。如果我們固定點(diǎn)A、B和直線(xiàn)L的位置，而點(diǎn)C是曲線(xiàn)∑上的動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)T的軌跡曲線(xiàn)Ω就是曲線(xiàn)∑相對(duì)于點(diǎn)A、B、直線(xiàn)L的垂極變換的像。

驗(yàn)證垂極點(diǎn)的存在

為了驗(yàn)證垂極點(diǎn)的存在，我們可以進(jìn)行一些實(shí)際操作。首先，我們需要通過(guò)作圖來(lái)確認(rèn)垂極點(diǎn)是否真的存在。

進(jìn)行垂極變換

既然垂極點(diǎn)確實(shí)存在，那么我們就可以開(kāi)始進(jìn)行垂極變換。我們先來(lái)看看圓的垂極變換圖形是什么樣的。

在平面上選擇一個(gè)合適的位置畫(huà)一個(gè)圓形，并選擇點(diǎn)C和圓，在工具欄中點(diǎn)擊“附著/脫離”按鈕，這樣點(diǎn)C就變成了圓上的動(dòng)點(diǎn)。接下來(lái)，我們依次選擇點(diǎn)C和垂極點(diǎn)T，構(gòu)造出點(diǎn)T的軌跡曲線(xiàn)Ω。在圖中，紫色曲線(xiàn)表示點(diǎn)T的軌跡Ω，而紅色的圓表示原始曲線(xiàn)∑。

當(dāng)我們拖動(dòng)圓的位置時(shí)，點(diǎn)T的軌跡曲線(xiàn)Ω會(huì)發(fā)生變化。同樣地，改變圓的大小也會(huì)影響到點(diǎn)T的軌跡曲線(xiàn)Ω。

如果我們以橢圓作為原始曲線(xiàn)∑，同樣可以進(jìn)行垂極變換。先將之前的操作另存為一個(gè)文件，然后選擇點(diǎn)C（注意不要選擇圓），點(diǎn)擊“附著/脫離”按鈕，這樣點(diǎn)C就從圓上脫離。接著，我們畫(huà)一個(gè)橢圓，并將點(diǎn)C附著于橢圓上，然后構(gòu)造出點(diǎn)T的軌跡曲線(xiàn)Ω。步驟與之前類(lèi)似。需要注意的是，當(dāng)點(diǎn)C從圓上脫離后，點(diǎn)T的軌跡曲線(xiàn)立即消失。

同樣地，我們可以進(jìn)行三角形、三葉草曲線(xiàn)等其他圖形的垂極變換。如果要觀(guān)察變化，我們可以整體移動(dòng)點(diǎn)A、B和直線(xiàn)L的位置。

通過(guò)垂極變換，我們可以更好地理解平面圖形之間的關(guān)系，并在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮其作用。