圓的反演變換在處理一些幾何問題時(shí)，能夠使問題變得簡(jiǎn)潔明了。但是，對(duì)于大多數(shù)人來說，圓的反演變換到底是如何實(shí)現(xiàn)的，可能并不清楚。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要熟悉各種數(shù)學(xué)工具，還需要理解它們背后的數(shù)學(xué)原理。本文將介紹圓

圓的反演變換在處理一些幾何問題時(shí)，能夠使問題變得簡(jiǎn)潔明了。但是，對(duì)于大多數(shù)人來說，圓的反演變換到底是如何實(shí)現(xiàn)的，可能并不清楚。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要熟悉各種數(shù)學(xué)工具，還需要理解它們背后的數(shù)學(xué)原理。本文將介紹圓的反演變換的原理，并通過動(dòng)態(tài)圖進(jìn)行演示。

反演圓的約定和作圖過程

首先，約定反演圓的圓心O就是反演中心，反演半徑為反演圓的半徑r（在具體應(yīng)用中也可以選擇不同的反演半徑）。另外，如果點(diǎn)A經(jīng)過反演后變成點(diǎn)A'，那么點(diǎn)O、A、A'三點(diǎn)共線，且有OA·OA' r2。下面的動(dòng)態(tài)圖展示了具體的作圖過程，請(qǐng)注意將反演點(diǎn)視為圓和直線的交點(diǎn)。

不同圖形的反演成像展示

不同的圖形經(jīng)過反演會(huì)得到不同的成像結(jié)果。當(dāng)圖形到反演中心的距離不同時(shí)，反演成像也會(huì)有所不同。通過幾何畫板演示一個(gè)圖形的反演成像，選取任意點(diǎn)P并作出其反演點(diǎn)P'，然后構(gòu)造軌跡，觀察P'的運(yùn)動(dòng)變化。改變?cè)瓐D與O的距離，可以看到反演成像的變化。

圓的不同位置下的反演成像

當(dāng)圓不經(jīng)過反演中心時(shí)，其反演圖形仍然是一個(gè)圓；而當(dāng)圓與反演圓相交時(shí)，交點(diǎn)保持不變；如果圓位于反演圓的外部，反演成像則位于圓的內(nèi)部；反之，若圓位于反演圓的內(nèi)部，則反演成像在圓的外部。最后，當(dāng)圓經(jīng)過反演中心時(shí)，其反演圖形則為一條直線。

快速作多個(gè)圖形的反演變換方法

對(duì)點(diǎn)進(jìn)行反演變換是一個(gè)繁瑣的過程，尤其是處理多個(gè)圖形的反演變換時(shí)，通常需要逐步完成各個(gè)圖形的反演操作。為了快速進(jìn)行多個(gè)圖形的反演變換，我們可以利用自定義工具。首先將“點(diǎn)的反演變換”制作成一個(gè)工具，可以快速生成曲線上自由點(diǎn)的反演點(diǎn)，并構(gòu)造軌跡，從而畫出曲線的反演圖形。

構(gòu)造Steiner圓鏈的反演變換方法

通過一個(gè)簡(jiǎn)單的情形來演示反演變換的構(gòu)造，以正六邊形為例：首先作一個(gè)圓及其內(nèi)接正六邊形，連接圓心和正六邊形頂點(diǎn)，將正六邊形分成六個(gè)小三角形；接著作出這六個(gè)小三角形的內(nèi)切圓，這六個(gè)小圓應(yīng)依次相切；隱藏其他線段和大圓，保留大圓圓心；再作大圓的兩個(gè)同心圓，分別與六個(gè)小圓相外切和相內(nèi)切；最后對(duì)整個(gè)圖形進(jìn)行反演變換，結(jié)果會(huì)發(fā)現(xiàn)同心圓變成偏心圓。