在計算線性代數(shù)時，正交矩陣或包含正交列的矩陣是我們經(jīng)常會遇到的實矩陣類型。這些矩陣的特點是所有列具有單位長度并且相互垂直。在Matlab中，如果一個矩陣Q是正交矩陣，那么它的轉(zhuǎn)置乘以自身等于單位矩陣，

在計算線性代數(shù)時，正交矩陣或包含正交列的矩陣是我們經(jīng)常會遇到的實矩陣類型。這些矩陣的特點是所有列具有單位長度并且相互垂直。在Matlab中，如果一個矩陣Q是正交矩陣，那么它的轉(zhuǎn)置乘以自身等于單位矩陣，即Q'QI。最簡單的正交矩陣可以看作是二維坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換。

復(fù)矩陣中對應(yīng)于正交矩陣的術(shù)語是單位矩陣。在數(shù)值計算中，正交矩陣和單位矩陣的使用能夠保持向量的長度和角度，并且不會引入額外的誤差。因此，在進(jìn)行數(shù)值計算時，正交矩陣和單位矩陣往往是非常實用的工具。

QR分解在矩陣分解中的應(yīng)用

正交或QR分解是一種將任意矩形矩陣表示為正交（或酉）矩陣與上三角矩陣的乘積的方法。在實際應(yīng)用中，可能還涉及到列置換的情況。通常，我們可以將一個矩陣A表示為QR的形式，即AQR，其中Q為正交（或單位）矩陣，R為上三角矩陣。有時也會引入置換向量P。

在QR分解中，有四種常見的變體形式，包括完全大小或適當(dāng)大小的分解，以及是否使用列置換。當(dāng)處理超定線性方程組時，即行數(shù)多于列數(shù)的情況（m×n且m>n），完全大小的QR分解將得到一個方陣Q（m×m正交矩陣）和一個矩形m×n的上三角矩陣R。

精簡QR分解的優(yōu)勢與應(yīng)用

在實際操作中，很多時候我們并不需要Q的全部列，特別是當(dāng)這些列與R底部相乘得到零時。因此，精簡的QR分解可以產(chǎn)生一個矩形矩陣（具有正交列的m×n Q）和一個方陣n×n的上三角矩陣R。盡管對于小規(guī)模示例而言節(jié)省的內(nèi)存并不明顯，但對于大規(guī)模矩陣的計算，在時間和內(nèi)存方面的節(jié)約可能會變得至關(guān)重要。

與LU分解相比，QR分解無需進(jìn)行消元或置換操作。然而，可選的列置換對于檢測奇異性或秩虧問題非常有幫助。在QR分解的每一步中，剩余未分解部分矩陣的列（具有最大范數(shù)）被選為該步驟的基礎(chǔ)。這確保了R的對角線元素按降序排列，通過檢查這些元素可以確保各列之間的線性相關(guān)性。

QR分解在解決線性方程組中的應(yīng)用

利用QR分解，超定線性方程組可以被轉(zhuǎn)化為等效的三角形方程組。通過將A*xb 轉(zhuǎn)化為Q*R*xb，其中Q為正交矩陣，可以保留歐幾里德范數(shù)。這個等式也可以寫為R*xy，其中yQ'b。由于R的后m-n行為零，因此這個等式可以分為兩部分來求解。

如果矩陣A是滿秩的，那么可以通過求解x使第一個表達(dá)式為零來解決問題，并且第二個表達(dá)式將提供殘差范數(shù)。當(dāng)A不是滿秩時，可以利用R的三角形結(jié)構(gòu)來求解最小二乘問題的基本解。QR分解在解決線性方程組和最小二乘問題時展現(xiàn)出了其強大的應(yīng)用價值。