問題描述最近在數(shù)學(xué)吧里面遇到一個(gè)有趣的問題：如圖：梯形ABCD，AD//BC，AC和BD交于E，BCBD，CDCE，∠ABD15°。求證：ABAC，AB⊥AC。解題步驟1. 首先，假設(shè)BCu，∠BCD

問題描述

最近在數(shù)學(xué)吧里面遇到一個(gè)有趣的問題：如圖：梯形ABCD，AD//BC，AC和BD交于E，BCBD，CDCE，∠ABD15°。求證：ABAC，AB⊥AC。

解題步驟

1. 首先，假設(shè)BCu，∠BCDx。那么，CDCE2u*Cos[x]，DECD^2/BD(2u*Cos[x])^2/u。

化簡(jiǎn)一下，得到：DE4u*(Cos[x])^2。

2. 然后計(jì)算AD的長度。ADBC*DE/BE，而BEBD-DEu-4u*(Cos[x])^2，

所以，ADu*(4u*(Cos[x])^2)/(u-4u*(Cos[x])^2)，

化簡(jiǎn)之后，得到：AD-4u*(Cos[x])^2/(1-2*Cos[2x])。

3. 下面，從兩個(gè)方面來計(jì)算BD和AD的比值。

一方面，BD：ADu/(-4u*(Cos[x])^2/(1-2*Cos[2x]))，

化簡(jiǎn)之后，得到：BD:AD-1/4(1-2*Cos[2x])(Sec[x])^2。

4. 另一方面，在△ABD里運(yùn)用余弦定理，得到：BD:ADSin[2x-15°]/Sin[15°]。

5. 所以，Sin[15°](1-4*(Cos[x])^2)4*Sin[2x-15°]*(Cos[x])^2。

化簡(jiǎn)之后得到：Sin[15 Degree] (1-4 Cos[x]^2)4 Sin[2 x-15 Degree] Cos[x]^2。

6. 由圖像可知，區(qū)間π/3到π/2之間，能滿足條件的x只有一個(gè)。解這個(gè)方程：

FindRoot[{Sin[15 Degree] (1-4 Cos[x]^2)-4 Sin[2 x-15 Degree] Cos[x]^2},{x,π/3}]

得到答案是：x->1.309......，其實(shí)就是x5π/1275°。

結(jié)論

經(jīng)過Mathematica的計(jì)算和分析，可以得出結(jié)論：

在梯形ABCD中，當(dāng)AD//BC，BCBD，CDCE，∠ABD15°時(shí)，可以證明ABAC，且AB⊥AC。