三角形全等的條件 教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)思想經(jīng)歷三角形全等的條件的分析和畫(huà)圖驗(yàn)證等過(guò)程，體會(huì)兩個(gè)三角形全等應(yīng)有三個(gè)條件。通過(guò)大量的實(shí)踐活動(dòng)探索三角形全等的條件。通過(guò)不同的條件畫(huà)出三角形來(lái)探索兩個(gè)三角形全等

三角形全等的條件 教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)思想

經(jīng)歷三角形全等的條件的分析和畫(huà)圖驗(yàn)證等過(guò)程，體會(huì)兩個(gè)三角形全等應(yīng)有三個(gè)條件。通過(guò)大量的實(shí)踐活動(dòng)探索三角形全等的條件。通過(guò)不同的條件畫(huà)出三角形來(lái)探索兩個(gè)三角形全等的條件，這對(duì)總結(jié)出三角形全等的條件及其應(yīng)用進(jìn)行判定是十分必要的，也是非常重要的。最后通過(guò)例題來(lái)應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)。

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能

能敘述三角形全等的條件，體會(huì)三角形的穩(wěn)定性；

能靈活地運(yùn)用三角形全等的條件，進(jìn)行有條理的思考和簡(jiǎn)單的推理，并能利用三角形的全等解決實(shí)際問(wèn)題；

提高動(dòng)手能力。

過(guò)程與方法

經(jīng)歷探索三角形全等條件的過(guò)程，體會(huì)利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程。 情感態(tài)度價(jià)值觀

體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系。

教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：三角形全等的條件。

難點(diǎn)：利用三角形全等的條件解題。

教學(xué)方法

小組討論，學(xué)生探索為主

教學(xué)媒體

多媒體

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課時(shí)安排

4課時(shí)

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

第一課時(shí)

（一）復(fù)習(xí)提問(wèn)

1．怎樣的兩個(gè)三角形是全等三角形？

2．全等三角形的性質(zhì)？

（二）SSS 定理的得出

給出任意兩個(gè)三角形，有些是全等的，有些不是全等的，我們知道如果△ABC 與△A ′B ′C ′滿(mǎn)足三條邊對(duì)應(yīng)相等，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即AB=A′B ′，BC=B′C ′，CA=C′A ′，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′這六個(gè)條件，就能保證△ABC ≌△A ′B ′C ′。問(wèn)同學(xué)們能不能找到一種方法，用較少的條件來(lái)判定兩個(gè)三角形全等呢？ 下面就一起來(lái)找找這些條件。（板書(shū)課題：三角形全等的條件）。

探究1

先任意畫(huà)出一個(gè)△ABC 。再畫(huà)一個(gè)△A ′B ′C ′使△ABC 與△A ′B ′C ′滿(mǎn)足上述六個(gè)條件中的一個(gè)或兩個(gè)。你畫(huà)出的△A ′B ′C ′與△ABC 一定全等嗎？

小組討論下面問(wèn)題

1. 在兩個(gè)三角形中，有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，或一條邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形是否一定全等？有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，或兩條邊對(duì)應(yīng)相等，或一個(gè)角和一條邊分別對(duì)應(yīng)相等，情況怎樣？有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的情況呢？

2. 用來(lái)判斷兩個(gè)三角形全等的條件，只有以下三種情況才有可能：三條邊對(duì)應(yīng)相等，或兩條邊和一個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，或兩個(gè)角和一條邊分別對(duì)應(yīng)相等．你認(rèn)為這種說(shuō)法對(duì)嗎？

通過(guò)畫(huà)圖可以發(fā)現(xiàn)，滿(mǎn)足上述六個(gè)條件中的一個(gè)或兩個(gè)，△ABC 與△A ′B ′C ′不一定全等。滿(mǎn)足上述六個(gè)條件中的三個(gè)，能保證△ABC 與△A ′B ′C ′全等嗎？我們分情況進(jìn)行討論。

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探究2

分小組活動(dòng)：

1. 用一根長(zhǎng) 11 cm 的細(xì)鐵絲，折成一個(gè)邊長(zhǎng)分別是 3 cm ， 4 cm ， 6 cm 的三角形．把你做的三角形和同學(xué)做的三角形進(jìn)行比較，它們能重合嗎？

2. 用同一根細(xì)鐵絲，余下 1 cm ，用其余部分折成一個(gè)邊長(zhǎng)分別是 3cm ， 4 cm ， 5 cm 的三角形，再和同學(xué)做的三角形進(jìn)行比較，它們能重合嗎？

3. 不同小組用同一根細(xì)鐵絲，任取一組能構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)的數(shù)據(jù)，和同桌同學(xué)分別按這些數(shù)據(jù)折三角形，折成的兩個(gè)三角形能重合嗎？

4. 先任意畫(huà)出一個(gè)△ABC ．再畫(huà)一個(gè)△A ′B ′C ′，使A ′B ′＝AB ，B ′C ′＝BC ，C ′A ′＝CA ．把畫(huà)好的△A ′B ′C ′剪下，放到△ABC 上，它們?nèi)葐?

畫(huà)一個(gè)△A ′B ′C ′，使A ′B ′＝AB ，A ′C ′＝AC ，B ′C ′＝BC ：

1．畫(huà)線(xiàn)段B ′C ′=BC；

2．分別以B ′、C ′為圓心，線(xiàn)段AB ，AC 為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)A ′；

3．連接線(xiàn)段A ′B ′，A ′C ′．

師：通過(guò)咱們的試驗(yàn)，可以得出什么結(jié)論呢？

生:只要三角形三邊的長(zhǎng)度確定，這個(gè)三角形的形狀和大小就完全確定了．

師總結(jié)定理：如果兩個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等．

師：咱們?cè)囍堰@句話(huà)壓縮一下，用幾個(gè)字概括，同學(xué)們認(rèn)為什么最合適呢？ 生：邊邊邊

師：字母記做“SSS ”

三角形全等的表示：

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我們?cè)?jīng)做過(guò)這樣的實(shí)驗(yàn)：將三根木條釘成一個(gè)三角形木架，這個(gè)三角形木架的形狀、大小就不變了．就是說(shuō)，三角形的三邊確定了，這個(gè)三角形的形狀、大小也就確定了．這里就用到上面的結(jié)論．

用上面的結(jié)論可以判斷兩個(gè)三角形全等．判斷兩個(gè)三角形全等的推理過(guò)程，叫做證明三角形全等．

（三）例題

例1如圖11．2—3，△ABC 是一個(gè)鋼架，AB ＝AC ，AD 是連接點(diǎn)A 與BC 中點(diǎn)D 的支架．求證△ABD ≌△ACD 。

分析：要證△ABD ≌△ACD ，可看這兩個(gè)三角形的三條邊是否對(duì)應(yīng)相等．

證明：∵D 是BC 的中點(diǎn)，

∴BD ＝CD ．

在△ABD 和△ACD 中，

?AB=AC,

??BD =CD ,

?AD =AD?

∴△ABD ≌△ACD （SSS ）．

從例1可以看出，證明是由題設(shè)（已知）出發(fā)，經(jīng)過(guò)一步步的推理，最后推出結(jié)論（求證）正確的過(guò)程．

（四）思考

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已知AC ＝FE ，BC ＝DE ，點(diǎn)A 、D 、B 、F 在一條直線(xiàn)上，AD ＝FB （圖11．2—4）． 要用“邊邊邊”證明△ABC ≌△FDE ，除了已知中的AC ＝FE ，BC ＝DE 以外，還應(yīng)該有什么條件? 怎樣才能得到這個(gè)條件

?

（五）練習(xí)

工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角．做法如下：如圖，∠AOB 是一個(gè)任意角，在邊OA ，OB 上分別取OM ＝ON ，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M ，N 重合．過(guò)角尺頂點(diǎn)C 的射線(xiàn)OC 便是∠AOB 的平分線(xiàn)．為什么

?

（六）小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出本節(jié)的主要知識(shí)點(diǎn)。

（七）板書(shū)設(shè)計(jì)

（八）教學(xué)反思

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第二課時(shí)

（一）探究3

1．學(xué)生分組活動(dòng)：畫(huà)一個(gè)三角形，使它的兩條邊長(zhǎng)分別是 1 . 5 cm ， 2 . 5 cm ，其中一個(gè)角是30°

畫(huà)好后同桌兩人討論：兩個(gè)三角形的兩條邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，這兩個(gè)三角形全等么？

有的組說(shuō)全等，有的組說(shuō)不全等

讓各組派代表說(shuō)說(shuō)做法，比較有什么不同，老師總結(jié)，有三種做法

（1）兩條邊長(zhǎng)分別是 1 . 5 cm ， 2 . 5 cm ，并且長(zhǎng)為1.5cm 的這條邊所對(duì)應(yīng)的角是 30°，這種做法得出的結(jié)論是：不全等

（2）兩條邊長(zhǎng)分別是 1 . 5 cm ， 2 . 5 cm ，并且長(zhǎng)為2.5cm 的這條邊所對(duì)應(yīng)的角是 30°，這種做法得出的結(jié)論也是：不全等

（3）兩條邊長(zhǎng)分別是 1 . 5 cm ， 2 . 5 cm ，這兩條邊的夾角為 30°，這樣做出的兩個(gè)三角形全等。

提問(wèn)：由剛才活動(dòng)得出的結(jié)論，滿(mǎn)足什么條件的兩個(gè)三角形全等？

2. 將兩邊和它們的夾角的數(shù)據(jù)改換成另一組，再與同學(xué)一起按新數(shù)據(jù)畫(huà)三角形．通過(guò)對(duì)所畫(huà)三角形的比較，你能得出什么結(jié)論？

3. 先任意畫(huà)出一個(gè)△ABC 再畫(huà)出一個(gè)△A ′B ′C ′，使A ′B ′＝AB ，A ′C ′＝AC ，∠A ′＝∠A （即使有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等）．把畫(huà)好的△A ′B ′C ′剪下，放到△ABC 上，它們?nèi)葐?

畫(huà)一個(gè)△A ′B ′C ′，使A ′B ′＝AB ，A ′C ′＝AC ，∠A ′＝∠A ：

1．畫(huà)∠DA ′E ＝∠A ；

2．在射線(xiàn)A ′D 上截取A ′B ′＝AB ，在射線(xiàn)A ′E 上截取A ′C ′＝AC ；

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3．連接B ′C ′．

總結(jié)定理：如果兩個(gè)三角形的兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等．這個(gè)事實(shí)可以簡(jiǎn)寫(xiě)為“邊角邊”或“SAS ”.

注：有上述活動(dòng)，我們可以得出“邊邊角”無(wú)法判定兩個(gè)三角形全等。

（二）例題

例2：如圖11．2—6，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A 、B 的距離，可先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A 和B 的點(diǎn)C ，連接AC 并延長(zhǎng)到D ，使CD ＝CA ．連接BC 并延長(zhǎng)到E ，使CE ＝CB ．連接DE ，那么量出DE 的長(zhǎng)就是A 、B 的距離．為什么?

分析：如果能證明△ABC ≌△DEC ，就可以得出AB ＝DE ．

在△ABC 和△DEC 中，CA ＝CD ，CB ＝CE ．如果能得出∠1＝∠2，△ABC 和△DEC 就全等了． 證明：在△ABC 和△DEC 中，

?C A =CD

??∠1=∠2

?C B =CE ?

∴△ABC ≌△DEC （SAS ）。

∴AB=DE。

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從例2可以看出：因?yàn)槿热切蔚膶?duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，所以，證明分別屬于兩個(gè)三角形的線(xiàn)段相等或者角相等的問(wèn)題，常常通過(guò)證明這兩個(gè)三角形全等來(lái)解決．

（三）探究4

我們知道，兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。由“兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的條件能判定兩個(gè)三角形全等嗎? 為什么？

有探究3我們知道不一定全等?，F(xiàn)在進(jìn)一步來(lái)說(shuō)明。我們可以通過(guò)畫(huà)圖回答，還可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)回答。

把一長(zhǎng)一短兩根細(xì)木棍的一端用螺釘鉸合在一起，使長(zhǎng)木棍的另一端與射線(xiàn)BC 的端點(diǎn)B 重合。適當(dāng)調(diào)整好長(zhǎng)木棍與射線(xiàn)BC 所成的角后，固定住長(zhǎng)木棍，把短木棍擺起來(lái)（圖11．2—7）．

圖11.2—7中的△ABC 與△ABD 滿(mǎn)足兩邊及其中一邊對(duì)角相等的條件，但△ABC 與△ABD 不全等。這說(shuō)明，有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等。

（四）練習(xí)

課本99頁(yè)的練習(xí)

（五）小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出本節(jié)的主要知識(shí)點(diǎn)。

（六）板書(shū)設(shè)計(jì)

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（七）教學(xué)反思

第三課時(shí)

（一）問(wèn)題的提出：

類(lèi)比著《邊邊邊公理》和《邊角邊公理》即“三元素定三角形”，提出：如果兩個(gè)三角形兩邊一個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形能不能全等？

（二）探究

5

學(xué)生活動(dòng)

1. 按照下面的步驟畫(huà)三角形，使它的兩個(gè)內(nèi)角分別為35°和 65°，并且這兩個(gè)角的夾邊的長(zhǎng)為2.5cm 。

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畫(huà)好后小組交流，比較畫(huà)出的三角形是否全等

2．活動(dòng)2 ：將兩角和它們的夾邊的數(shù)據(jù)改換成另一組，再與同學(xué)一起按新數(shù)據(jù)畫(huà)三角形．通過(guò)對(duì)所畫(huà)三角形的比較，你能得出什么結(jié)論？

3. 先任意畫(huà)出一個(gè)△ABC 。再畫(huà)一個(gè)△A ′B ′C ′，使A ′B ′=AB，∠A ′=∠A ，∠B ′=∠B （即使兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等）。把畫(huà)好的△A ′B ′C ′剪下，放到△ABC 上，它們?nèi)葐幔?/p>

畫(huà)一個(gè)△A ′B ′C ′，使A ′B ′=AB，∠A ′=∠A ，∠B ′=∠B

1．畫(huà)A ′B ′=AB；

2．在A ′B ′的同旁畫(huà)∠DA ′B ′＝∠A ，∠EB ′A ′＝∠B ，A ′D ，B ′E 交于點(diǎn)C ′．

4．角邊角定理：如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等．這個(gè)事實(shí)可以簡(jiǎn)寫(xiě)為“角邊角”或“ASA ”

（三）探究6

在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF （圖11．2—9），△ABC 與△DEF 全等嗎? 能利用角邊角條件證明你的結(jié)論嗎

?

提示：如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么它們的第三個(gè)角是什么關(guān)系？ 總結(jié)出結(jié)論：

兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或

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