第一部分 力＆物體的平衡第一講 力的處理一、矢量的運(yùn)算1、加法表達(dá)：a b = c 。名詞：c 為“和矢量”。法則：平行四邊形法則。如圖1所示。 和矢量大?。篶 = 的夾角。和矢量方向：c

第一部分 力＆物體的平衡

第一講 力的處理

一、矢量的運(yùn)算

1、加法

表達(dá)：a b = c 。

名詞：c 為“和矢量”。

法則：平行四邊形法則。如圖1所示。 和矢量大小：c = 的夾角。

和矢量方向：c 在a 、b 之間，和a 夾角β= arcsin

22

a b 2ab cos α ，其中α為a 和b

b sin αa b 2ab cos α

2

2

2、減法

表達(dá)：a = c －b 。

名詞：c 為“被減數(shù)矢量”，b 為“減數(shù)矢量”，a 為“差矢量”。 法則：三角形法則。如圖2所示。將被減數(shù)矢量和減數(shù)矢量的起始端平移到一點(diǎn)，然后連接兩時(shí)量末端，指向被減數(shù)時(shí)量的時(shí)量，即是差矢量。

差矢量大?。篴 =

b c -2bc cos θ ，其中θ為c 和b 的夾角。

2

2

差矢量的方向可以用正弦定理求得。

一條直線上的矢量運(yùn)算是平行四邊形和三角形法則的特例。 例題：已知質(zhì)點(diǎn)做勻速率圓周運(yùn)動，半徑為R ，周期為T ，求它在大小。

解說：如圖3所示，A 到B 點(diǎn)對應(yīng)

設(shè)為v A 、v B 和v C 。

14

14

T 內(nèi)和在

12

T 內(nèi)的平均加速度

T 的過程，A 到C 點(diǎn)對應(yīng)

12

T 的過程。這三點(diǎn)的速度矢量分別

v B -v A v t -v 0

根據(jù)加速度的定義 a = 得：a AB = ，

t AB t

v C -v A

a AC =

t AC

由于有兩處涉及矢量減法，設(shè)兩個(gè)差矢量 ?v 1= v B －

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v A ，?v 2= v C －v A ，根據(jù)三角形法則，它們在圖3中的大小、方向已繪出（?v 2的“三角形”已

被拉伸成一條直線）。

本題只關(guān)心各矢量的大小，顯然：

v A = v B = v C =

2πR T

，且：?v 1 = 2v A =

22πR T

，?v 2 = 2v A =

4πR T

22πR 4πR

所以：a AB =

?v 1t AB

=

T T 4

=

82πR T

2

，a AC =

?v 2t AC

=

T T 2

=

8πR T

2

。

（學(xué)生活動）觀察與思考：這兩個(gè)加速度是否相等，勻速率圓周運(yùn)動是不是勻變速運(yùn)動？ 答：否；不是。

3、乘法

矢量的乘法有兩種：叉乘和點(diǎn)乘，和代數(shù)的乘法有著質(zhì)的不同。 ⑴ 叉乘

表達(dá)：a ×b = c

名詞：c 稱“矢量的叉積”，它是一個(gè)新的矢量。 叉積的大小：c = absinα，其中α為a 和b 的夾角。意義：

c 的大小對應(yīng)由a 和b 作成的平行四邊形的面積。

a 叉積的方向：垂直和b 確定的平面，并由右手螺旋定則

確定方向，如圖4所示。

顯然，a ×b ≠b ×a ，但有：a ×b = －b ×a ⑵ 點(diǎn)乘

表達(dá)：a ·b = c

名詞：c 稱“矢量的點(diǎn)積”，它不再是一個(gè)矢量，而是一個(gè)標(biāo)量。

點(diǎn)積的大?。篶 = abcosα，其中α為a 和b 的夾角。

二、共點(diǎn)力的合成

1、平行四邊形法則與矢量表達(dá)式

2、一般平行四邊形的合力與分力的求法 余弦定理（或分割成Rt Δ）解合力的大小 正弦定理解方向 三、力的分解

1、按效果分解

2、按需要——正交分解

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第二講 物體的平衡

一、共點(diǎn)力平衡

1、特征：質(zhì)心無加速度。

2、條件：ΣF = 0 ，或 ∑F x = 0 ，∑F y = 0

例題：如圖5所示，長為L 、粗細(xì)不均勻的橫桿被兩根輕繩水平懸掛，繩子與水平方向的夾角在圖上已標(biāo)示，求橫桿的重心位置。

解說：直接用三力共點(diǎn)的知識解題，幾何關(guān)系比

較簡單。

答案：距棒的左端L/4處。

（學(xué)生活動）思考：放在斜面上的均質(zhì)長方體，

按實(shí)際情況分析受力，斜面的支持力會通過長方體的

重心嗎？

解：將各處的支持力歸納成一個(gè)N ，則長方體受三個(gè)力（G 、f 、N ）

必共點(diǎn)，由此推知，N 不可能通過長方體的重心。正確受力情形如圖6所

示（通常的受力圖是將受力物體看成一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)，N 就過重心了）。

答：不會。

二、轉(zhuǎn)動平衡

1、特征：物體無轉(zhuǎn)動加速度。

2、條件：ΣM = 0 ，或ΣM =ΣM -

如果物體靜止，肯定會同時(shí)滿足兩種平衡，因此用兩種思路均可解題。

3、非共點(diǎn)力的合成

大小和方向：遵從一條直線矢量合成法則。

作用點(diǎn)：先假定一個(gè)等效作用點(diǎn)，然后讓所有的平行力對這個(gè)作用點(diǎn)的和力矩為零。

第三講 習(xí)題課

1、如圖7所示，在固定的、傾角為α斜面上，有一塊可以轉(zhuǎn)動的夾板

（β不定），夾板和斜面夾著一個(gè)質(zhì)量為m 的光滑均質(zhì)球體，試求：

β取何值時(shí)，夾板對球的彈力最小。

解說：法一，平行四邊形動態(tài)處理。

對球體進(jìn)行受力分析，然后對平行四邊形中的矢量G 和N 1進(jìn)行平

移，使它們構(gòu)成一個(gè)三角形，如圖8的左圖和中圖所示。

由于G 的大小

和方向均不變，而

N 1的方向不可變，

當(dāng)β增大導(dǎo)致N 2

的方向改變時(shí)，N 2

的變化和N 1的方

向變化如圖8的右

圖所示。

顯然，隨著

β

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增大，N 1單調(diào)減小，而N 2的大小先減小后增大，當(dāng)N 2垂直N 1時(shí)，N 2取極小值，且N 2min = Gsinα。

法二，函數(shù)法。

看圖8的中間圖，對這個(gè)三角形用正弦定理，有：

N 2sin α = G

sin β ，即：N 2 = G sin αsin β ，β在0到180°之間取值，N 2的極值討論是很容易的。

答案：當(dāng)β= 90°時(shí)，甲板的彈力最小。

2、把一個(gè)重為G 的物體用一個(gè)水平推力F 壓在豎直的足夠高的墻壁上，F(xiàn) 隨時(shí)間t 的變化規(guī)律如圖9所示，則在t = 0開始物體所受的摩擦力f 的變化圖線是圖10中的哪一個(gè)？

解說：靜力學(xué)旨在解決靜態(tài)問題和準(zhǔn)靜態(tài)過程的問題，但本題是一個(gè)例外。物體在豎直方向的運(yùn)動先加速后減速，平衡方程不再適用。如何避開牛頓第二定律，是本題授課時(shí)的難點(diǎn)。

靜力學(xué)的知識，本題在于區(qū)分兩種摩擦的不同判據(jù)。

水平方向合力為零，得：支持力N 持續(xù)增大。

物體在運(yùn)動時(shí)，滑動摩擦力f = μN(yùn) ，必持續(xù)增大。但物體在靜

止后靜摩擦力f ′≡ G ，與N 沒有關(guān)系。

對運(yùn)動過程加以分析，物體必有加速和減速兩個(gè)過程。據(jù)物理常

識，加速時(shí)，f ＜ G ，而在減速時(shí)f ＞ G 。

答案：B 。

3、如圖11所示，一個(gè)重量為G 的小球套在豎直放置的、半徑為R 的

光滑大環(huán)上，另一輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)為k ，自由長度為L （L ＜2R ），

一端固定在大圓環(huán)的頂點(diǎn)A ，另一端與小球相連。環(huán)靜止平衡時(shí)位于

大環(huán)上的B 點(diǎn)。試求彈簧與豎直方向的夾角θ。

解說：平行四邊形的三個(gè)矢量總是可以平移到一個(gè)三角形中去討

論，解三角形的典型思路有三種：①分割成直角三角形（或本來就是

直角三角形）；②利用正、余弦定理；③利用力學(xué)矢量三角形和某空

間位置三角形相似。本題旨在貫徹第三種思路。

分析小球受力→矢量平移，如圖12所示，其中F 表示彈簧彈力，N 表示大環(huán)的支持力。

（學(xué)生活動）思考：支持力N 可不可以沿圖12中的反方向？

（正交分解看水平方向平衡——不可以。）

容易判斷，圖中的灰色矢量三角形和空間位置三角形ΔAOB 是

相似的，所以：

F

G =AB

R ⑴

由胡克定律：F = k（AB - R） ⑵

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幾何關(guān)系：AB = 2Rcosθ ⑶

解以上三式即可。

答案：arccos kL

2(kR -G ) 。

（學(xué)生活動）思考：若將彈簧換成勁度系數(shù)k ′較大的彈

簧，其它條件不變，則彈簧彈力怎么變？環(huán)的支持力怎么變？

答：變??；不變。

（學(xué)生活動）反饋練習(xí)：光滑半球固定在水平面上，球

心O 的正上方有一定滑輪，一根輕繩跨過滑輪將一小球從圖

13所示的A 位置開始緩慢拉至B 位置。試判斷：在此過程中，

繩子的拉力T 和球面支持力N 怎樣變化？

解：和上題完全相同。

答：T 變小，N 不變。

4、如圖14所示，一個(gè)半徑為R 的非均質(zhì)圓球，其重心不在球心O 點(diǎn)，先將它置于水平地面上，平衡時(shí)球面上的A 點(diǎn)和地面接觸；再將它置于傾角為30°的粗糙斜面上，平衡

時(shí)球面上的B 點(diǎn)與斜面接觸，已知A 到B 的圓心角也為30°。試求球體

的重心C 到球心O 的距離。

解說：練習(xí)三力共點(diǎn)的應(yīng)用。

根據(jù)在平面上的平衡，可知重心C 在OA 連線上。根據(jù)在斜面上的平

衡，支持力、重力和靜摩擦力共點(diǎn)，可以畫出重心的具體位置。幾何計(jì)

算比較簡單。 答案：3

3R 。

（學(xué)生活動）反饋練習(xí)：靜摩擦足夠，將長為a 、厚為b 的磚塊碼

在傾角為θ的斜面上，最多能碼多少塊？

解：三力共點(diǎn)知識應(yīng)用。 答：a

b ctg θ 。

4、兩根等長的細(xì)線，一端拴在同一懸點(diǎn)O 上，另一端各系一

個(gè)小球，兩球的質(zhì)量分別為m 1和m 2 ，已知兩球間存在大小相

等、方向相反的斥力而使兩線張開一定角度，分別為45和

30°，如圖15所示。則m 1 : m2為多少？

解說：本題考查正弦定理、或力矩平衡解靜力學(xué)問題。

對兩球進(jìn)行受力分析，并進(jìn)行矢量平移，如圖16所示。

首先注意，圖16中的灰色三角形是等腰

三角形，兩底角相等，設(shè)為α。

而且，兩球相互作用的斥力方向相反，

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大小相等，可用同一字母表示，設(shè)為F 。

對左邊的矢量三角形用正弦定理，有：

m 1g

sin α = F

sin 45? ① 同理，對右邊的矢量三角形，有：

解①②兩式即可。

答案：1 ：2 。 m 2g sin α = F sin 30? ②

（學(xué)生活動）思考：解本題是否還有其它的方法？

答：有——將模型看成用輕桿連成的兩小球，而將O 點(diǎn)看成轉(zhuǎn)軸，兩球的重力對O 的力矩必然是平衡的。這種方法更直接、簡便。

應(yīng)用：若原題中繩長不等，而是l 1 ：l 2 = 3 ：2 ，其它條件不變，m 1與m 2的比值又將是多少？

解：此時(shí)用共點(diǎn)力平衡更加復(fù)雜（多一個(gè)正弦定理方程），而用力矩平衡則幾乎和“思考”完全相同。 答：2 ：32 。

5、如圖17所示，一個(gè)半徑為R 的均質(zhì)金屬球上固定著一根長為L 的輕質(zhì)細(xì)桿，細(xì)桿的左端用鉸鏈與墻壁相連，球下邊墊上一塊木板后，細(xì)桿恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金屬球和木板之間有摩擦（已知摩擦因素為μ），所以要將木板從球下面向右抽出時(shí)，至少需要大小為F 的水平拉力。試問：現(xiàn)要將木板繼續(xù)向左插進(jìn)一些，至少需要多大的水平推力？

解說：這是一個(gè)典型的力矩平衡的例題。

以球和桿為對象，研究其對轉(zhuǎn)軸O 的轉(zhuǎn)動平衡，

設(shè)木板拉出時(shí)給球體的摩擦力為f ，支持力為N ，

重力為G ，力矩平衡方程為：

f R N（R L）= G（R L） ①

球和板已相對滑動，故：f = μN(yùn) ②

解①②可得：f = μG (R L )

R L μR

再看木板的平衡，F(xiàn) = f 。

同理，木板插進(jìn)去時(shí)，球體和木板之間的摩擦f ′= μG (R L )

R L -μR = F′。 答案：

R L μR R L -μR F 。

第四講 摩擦角及其它

一、摩擦角

1、全反力：接觸面給物體的摩擦力與支持力的合力稱全反力，一般用R 表示，亦稱接觸反力。

2、摩擦角：全反力與支持力的最大夾角稱摩擦角，一般用φm 表示。

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此時(shí)，要么物體已經(jīng)滑動，必有：φm = arctg μ（μ為動摩擦因素），稱動摩擦力角；要么物體達(dá)到最大運(yùn)動趨勢，必有：φms = arctgμs （μs 為靜摩擦因素），稱靜摩擦角。通常處理為φm = φms 。

3、引入全反力和摩擦角的意義：使分析處理物體受力時(shí)更方便、更簡捷。

二、隔離法與整體法

1、隔離法：當(dāng)物體對象有兩個(gè)或兩個(gè)以上時(shí)，有必要各個(gè)擊破，逐個(gè)講每個(gè)個(gè)體隔離開來分析處理，稱隔離法。

在處理各隔離方程之間的聯(lián)系時(shí)，應(yīng)注意相互作用力的大小和方向關(guān)系。

2、整體法：當(dāng)各個(gè)體均處于平衡狀態(tài)時(shí)，我們可以不顧個(gè)體的差異而講多個(gè)對象看成一個(gè)整體進(jìn)行分析處理，稱整體法。

應(yīng)用整體法時(shí)應(yīng)注意“系統(tǒng)”、“內(nèi)力”和“外力”的涵義。

三、應(yīng)用

1、物體放在水平面上，用與水平方向成30°的力拉物體時(shí)，物體勻速前進(jìn)。若此力大小不變，改為沿水平方向拉物體，物體仍能勻速前進(jìn)，求物體與水平面之間的動摩擦因素μ。

解說：這是一個(gè)能顯示摩擦角解題優(yōu)越性的題目?？梢酝ㄟ^不同解法的比較讓學(xué)生留下深刻印象。 法一，正交分解。（學(xué)生分析受力→列方程→

得結(jié)果。）

法二，用摩擦角解題。

引進(jìn)全反力R ，對物體兩個(gè)平衡狀態(tài)進(jìn)行受

力分析，再進(jìn)行矢量平移，得到圖18中的左圖和

中間圖（注意：重力G 是不變的，而全反力R 的

方向不變、F 的大小不變），φm 指摩擦角。

再將兩圖重疊成圖18的右圖。由于灰色的三

角形是一個(gè)頂角為30°的等腰三角形，其頂角的

角平分線必垂直底邊??故有：φm = 15°。

最后，μ= tgφm 。

答案：0.268 。

（學(xué)生活動）思考：如果F 的大小是可以選擇的，那么能維持物體勻速前進(jìn)的最小F 值是多少？ 解：見圖18，右圖中虛線的長度即F min ，所以，F(xiàn) min = Gsinφm 。

答：Gsin 15°（其中G 為物體的重量）。

2、如圖19所示，質(zhì)量m = 5kg的物體置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小F = 30N的推力推物體，使物體能夠沿斜面向上勻速運(yùn)動，而斜面體始終靜止。已知斜面的質(zhì)量M = 10kg ，傾角為30°，重力加速度g = 10m/s2 ，求地面對斜面體的摩擦力大小。

解說：本題旨在顯示整體法的解題的優(yōu)越性。

法一，隔離法。簡要介紹??

法二，整體法。注意，滑塊和斜面隨有相對運(yùn)動，但

從平衡的角度看，它們是完全等價(jià)的，可以看成一個(gè)整體。

做整體的受力分析時(shí)，內(nèi)力不加考慮。受力分析比較

簡單，列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。

答案：26.0N 。

（學(xué)生活動）地面給斜面體的支持力是多少？

解：略。

答：135N 。

應(yīng)用：如圖20所示，一上表面粗糙的斜面體上放在光滑的水平地面上，斜面的傾角為θ。另一質(zhì)量為m 的滑塊恰好能沿斜面勻速下滑。若用一推力F

作用在滑塊上，使之能沿斜面勻速上滑，且要求斜面

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體靜止不動，就必須施加一個(gè)大小為P = 4mgsinθcos θ的水平推力作用于斜面體。使?jié)M足題意的這個(gè)F 的大小和方向。

解說：這是一道難度較大的靜力學(xué)題，可以動用一切可能的工具解題。

法一：隔離法。

由第一個(gè)物理情景易得，斜面于滑塊的摩擦因素μ= tgθ

對第二個(gè)物理情景，分別隔離滑塊和斜面體分析受力，并

將F 沿斜面、垂直斜面分解成F x 和F y ，滑塊與斜面之間的兩

對相互作用力只用兩個(gè)字母表示（N 表示正壓力和彈力，f 表

示摩擦力），如圖21所示。

對滑塊，我們可以考查沿斜面方向和垂直斜

面方向的平衡——

F x = f mgsinθ

F y mgcosθ= N

且 f = μN(yùn) = Ntgθ

綜合以上三式得到：

F x = Fy tg θ 2mgsinθ ①

對斜面體，只看水平方向平衡就行了——

P = fcosθ Nsinθ

即：4mgsin θcos θ=μN(yùn)cos θ Nsinθ

代入μ值，化簡得：F y = mgcosθ ②

②代入①可得：F x = 3mgsinθ

最后由F =F x 2 F y 2解F 的大小，由tg α=

答案：大小為F = mg 8sin 2F y F x 解F 的方向（設(shè)α為F 和斜面的夾角）。 1

3θ，方向和斜面夾角α= arctg(ctg θ) 指向斜面內(nèi)部。

法二：引入摩擦角和整體法觀念。

仍然沿用“法一”中關(guān)于F 的方向設(shè)置（見圖21中的α角）。

先看整體的水平方向平衡，有：Fcos(θ- α) = P ⑴

再隔離滑塊，分析受力時(shí)引進(jìn)全反力R 和摩擦角φ，由于簡化后只有三個(gè)力（R 、mg 和F ），可以將矢量平移后構(gòu)成一個(gè)三角形，如圖22所示。

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在圖22右邊的矢量三角形中，有：F

sin(θ φ) = mg

sin [90?-(α φ) ]= mg

cos(α φ)

注意：φ= arctgμ= arctg(tgθ) = θ 解⑴⑵⑶式可得F 和α的值。

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