蹺蹺板的原理兒童講解 摘要：蹺蹺板可以看作是靜力學(xué)中的杠桿模型，也可以看作是定軸旋轉(zhuǎn)的一維剛體模型。在剛體動(dòng)力學(xué)研究的基礎(chǔ)上，將力學(xué)模型蹺蹺板視為兩端自由均勻?qū)ΨQ的兩跨Euler計(jì)算這一類梁E

蹺蹺板的原理兒童講解

摘要：蹺蹺板可以看作是靜力學(xué)中的杠桿模型，也可以看作是定軸旋轉(zhuǎn)的一維剛體模型。在剛體動(dòng)力學(xué)研究的基礎(chǔ)上，將力學(xué)模型蹺蹺板視為兩端自由均勻?qū)ΨQ的兩跨Euler計(jì)算這一類梁Euler梁的頻率方程和位移函數(shù)的頻率方程與鉸接自由梁的頻率方程完全相同，但由于梁跨度的增加，位移函數(shù)的自變量范圍發(fā)生了變化。位移函數(shù)是關(guān)于梁的中點(diǎn)反對(duì)稱的，而位移函數(shù)是唯一的，因?yàn)樗c一個(gè)常數(shù)因子的差異。
關(guān)鍵詞： 兩端自由 位移函數(shù) 力學(xué)模型 雙跨梁均勻?qū)ΨQ 應(yīng)用力學(xué) 蹺蹺板 頻率方程
在日常生活中，蹺蹺板是一種常見的兒童玩具。在初中物理中，我們研究了蹺蹺板的靜態(tài)平衡原理。本文特別討論了與蹺蹺板相關(guān)的動(dòng)力學(xué)問題。

力學(xué)模型蹺蹺板?

在大學(xué)力學(xué)課程之后，學(xué)生通常默認(rèn)將蹺蹺板作為一維剛體，可以繞過軸旋轉(zhuǎn)。事實(shí)上，在振動(dòng)力學(xué)中，蹺蹺板可以簡化為兩端的均勻?qū)ΨQ跨度Euler梁結(jié)構(gòu)，也就是說，我們構(gòu)建了一個(gè)新的彈性體模型。本文主要從剛體模型和Euler蹺蹺板的動(dòng)力學(xué)研究分為兩個(gè)層次。

文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]分別研究了兩端的自由Euler文獻(xiàn)[3]研究了梁離散模型和連續(xù)模型微振動(dòng)的定性特性Euler梁離散模型的反振動(dòng)問題。因此，機(jī)械模型蹺蹺板不僅具有教學(xué)研究價(jià)值，而且具有科學(xué)研究價(jià)值，包括振動(dòng)的定性性質(zhì)和振動(dòng)的反問題領(lǐng)域。

1.將蹺蹺板視為定軸旋轉(zhuǎn)的剛體模型

在經(jīng)典力學(xué)教材[4]中，蹺蹺板被視為繞過中點(diǎn)軸線旋轉(zhuǎn)的一維剛體，剛體的質(zhì)量被設(shè)置為m，長度為2l(為了與以下內(nèi)容保持一致)。定積分運(yùn)算，這種剛體的旋轉(zhuǎn)慣量是

其中，外力F主要包括兩個(gè)人坐在蹺蹺板兩端的重力，以及兩個(gè)人輪流踏地時(shí)地面的反作用力。軸上的阻力矩和空氣阻力被忽略。定軸旋轉(zhuǎn)的剛體具有旋轉(zhuǎn)定律：

假設(shè)t1時(shí)刻剛體的角參數(shù)量為θ1，角速度為ω1，而t2時(shí)刻剛體的角參量為θ2，角速度為ω2、剛體的角動(dòng)量定理(1)和剛體軸旋轉(zhuǎn)的動(dòng)能定理(2)成立:

特例：當(dāng)兩個(gè)體重相等的人在蹺蹺板的兩端對(duì)稱地坐在中點(diǎn)，兩個(gè)人的腳已經(jīng)離開地面時(shí)，作用于剛體的外部扭矩為零。M=0無論是帶入公式(2)還是公式(3)，都可以ω1=ω2，即角速度ω是常數(shù)c，也就是公式(1)中剛體的角速度β=0。

2.將蹺蹺板視為兩端自由的均勻?qū)ΨQEuler梁

2.1Euler提出梁力學(xué)模型

有一等截面的均勻Euler梁，長度為2l，邊界條件是兩端自由，梁的中點(diǎn)有一個(gè)鉸鏈支架，形成一個(gè)雙跨梁。如果坐標(biāo)原點(diǎn)位于梁的中點(diǎn)，則為自變量，其橫向振動(dòng)的模態(tài)方程為：

其中r(x)=E(x)I(x)是抗彎剛度，E(x)是楊氏模量，I(x)是截面的慣性矩，ρ(x)是密度函數(shù)。在本文中，r(x)和ρ(x)平均看成常數(shù)。W(x)是位移振型，λ=ω2A這個(gè)問題的特征值，ω圓頻率，橫截面積A為常數(shù)，x這是軸向坐標(biāo)。

兩端自由均勻兩跨Euler梁具有以下邊界條件：[5]

彎曲剛度為零是沒有意義的，因此將邊界條件簡化為零

2.兩端自由均勻?qū)ΨQEuler計(jì)算梁頻率方程和位移函數(shù)

Euler梁的無阻尼自由振動(dòng)滿足方程(4)，其解為[6]

其中，有一個(gè)鉸支座，因此，W(0)=0,W″(0)=0。計(jì)算得C1=C3=0。

可以通過邊界條件計(jì)算出兩端的均勻?qū)ΨQ跨度Euler梁的頻率方程為

(8)類型的結(jié)論與[6]中鉸鏈自由梁的頻率方程完全相同，這是一個(gè)超越方程。根據(jù)從小到大的順序，前四個(gè)非凡解的數(shù)值解見文獻(xiàn)[6]。前四個(gè)非凡解決方案的近似解為兩端的均勻?qū)ΨQ跨度Euler梁的位移函數(shù)計(jì)算結(jié)果為

文獻(xiàn)[7]討論了兩端自由功能梯度梁的一種振動(dòng)反應(yīng)問題。本文計(jì)算了兩端自由功能梯度梁的多項(xiàng)式位移函數(shù)，與過梁的中點(diǎn)和垂直于水平軸的直線對(duì)稱。結(jié)合文獻(xiàn)[7]和本文的討論，我們可以得出結(jié)論:兩端自由的對(duì)稱跨度Euler梁的位移函數(shù)W(x)有兩種模態(tài)：對(duì)稱和反對(duì)稱，在一個(gè)常數(shù)因子的意義下是唯一的。上述結(jié)論與振動(dòng)力學(xué)理論[5]一致。

此外，還有一種常見的生活用具——用竹子或木頭制成的扁擔(dān)，也可以看作是兩端自由的兩個(gè)跨度Euler然而，由于扁擔(dān)的特殊形狀，它不屬于均勻梁，因此不能像上面那樣分析無阻尼自由振動(dòng)方程。順便說一下，把扁擔(dān)當(dāng)作懸臂梁是不合理的。

3、結(jié)語

本文建立了生活中常見的蹺蹺板Euler梁模型將研究對(duì)象從振動(dòng)力學(xué)中常見的單跨梁擴(kuò)展到多跨梁，其計(jì)算結(jié)果與通常的單跨梁結(jié)構(gòu)不同。